Факультет

Студентам

Посетителям

Решение Шварцшильда

Вернемся к движению в поле точечной массы. В старой ньютоновской механике движение частицы в таком поле описывалось законами Кеплера.

Какова бы ни была эта частица, с ней могло случиться только одно из двух: если ее энергия велика, то частица покинет поле и улетит прочь на бесконечность, если ее энергия мала, она будет обращаться вокруг поля по одной из орбит — эллиптических и круговых. Частица ни при каких условиях не может упасть на центральную массу — это может произойти только в том случае, если она будет двигаться по прямой, проходящей через центр поля, — для этого ее момент количества движения должен быть строго равен нулю.

Мы уже знаем, что реальный закон притяжения отличается от закона обратных квадратов и что движение планеты отличается от того, которое описывается механикой Ньютона так, как будто бы в законе всемирного тяготения есть член, обратно пропорциональный кубу расстояния. Такое описание приближенное, но оно показывает, как усложняется задача, когда приходится учитывать эффекты, связанные с теорией относительности. Силы, обратно пропорциональные кубу расстояния, очевидно, на достаточно малых расстояниях могут сколь угодно превысить силы центробежные. Поэтому в таком поле мы должны ожидать существенно другого характера движения частиц, если они попадают в область, близкую к центру притяжения.

Действительно, в поле центральной массы при расстояниях, меньших гравитационных радиусов, частица не может двигаться устойчиво по круговой орбите. Если еще при этом частица имеет не очень большой момент количества движения и энергию то она не сможет уйти на бесконечность и будет описывать незамкнутую траекторию типа спирали, с каждым витком все больше и больше приближаясь к центру. На каком-то витке частица пересечет центральное тело — этим и завершится ее история, частица упадет на центр.

При таком движении скорость частицы будет возрастать, поскольку должен сохраниться момент количества движения, и уменьшающаяся потенциальная энергия будет восполняться растущей кинетической. Если центральное тело больше своего гравитационного радиуса, то практически таких орбит не будет. Но если, а это и есть черная дыра, вся масса центрального тела сосредоточена на расстояниях, меньших гравитационного радиуса, то внешний наблюдатель никогда не уследит, как частица упадет на центральное тело. Для него история частицы закончится на том, что частица дойдет до гравитационного радиуса и исчезнет. Такое удивительное событие произойдет из-за красного смещения. Двигаясь по своей траектории — спирали, частица будет попадать все в более и более сильные поля тяготения, и спектр ее излучения будет сдвигаться в красную сторону, пока не погаснет совсем. Формально это произойдет в тот момент, когда частица достигнет гравитационного радиуса, на что ей потребуется, с точки зрения внешнего наблюдателя, бесконечное время.

Частица будет падать так долго в силу действия того же гравитационного поля, в котором замедляется ход часов. Практически, однако, внешний наблюдатель проследит за падением частицы за конечное и даже не очень большое время. Когда длина волны излучения, по которому наблюдатель следит за частицей, изменится в несколько раз, частица практически исчезнет из поля зрения, так как интенсивность ее излучения станет слишком малой.

В механике столкновений существуют удобная величина которую называют прицельным параметром ς0. Так называют расстояние, на котором тело прошло бы от центра сил, если бы взаимодействия не было и его траектория была прямой линией.

Результат расчетов траекторий планет в точной теории тяготения сводится к тому, что если планета (правильнее ее называют кометой, или просто материальной точкой) начнет свое движение на бесконечности с маленькой скоростью υ0 и если ее прицельный параметр меньше, чем 2Rгр c:υ0, она попадет в конце концов на шварцшильдовскую сферу. Если υ0 равно скорости света (например, если рассматривать не комету, а луч света), то также может произойти падение, только критическое значение прицельного параметра будет несколько больше; он будет равен 3√3Rгр.

Центральное тело из-за изменения закона притяжения, оказывается, ведет себя не как точка, а как сфера с конечными размерами, эффективный радиус которой разный для частиц с разной скоростью.