Для поля тяготения, создаваемого массивным телом, можно сформулировать теорему, которая похожа на теорему Ньютона о поле сферически симметричного тела.
Теорема эта носит имя Биркгофа. Суть теоремы Биркгофа состоит в следующем. Предположим, что поле тяготения создается системой тел, которые движутся в ограниченном пространстве. Тогда если распределение массы в такой системе сферически симметрично, а скорости все направлены по радиусам и также не зависят от углов, поле такой системы не зависит от времени и совпадает (вне системы) с нолем материальной точки, имеющей массу, равную массе системы.
Следовательно, наблюдатель не может ничего заключить о распределении масс и скоростей внутри такой системы, если он ограничится только измерением силы тяжести. Поэтому, рассматривая задачу о поле Солнца, мы можем пользоваться решением задачи о поле точечной массы. Условия теоремы нарушаются, если источник поля вращается. В этом случае система теряет сферическую симметрию и остается с симметрией аксиальной. Для Солнца эффект этот мал. Есть проект изучения взаимодействия поля вращающейся Земли с вращающимся же гироскопом. Этот эффект очень похож на взаимодействие двух магнитных моментов, каждый из которых создается движением электрических зарядов. Однако экспериментальные исследования гравитационных полей вращающихся тел очень трудны.
Но мы увидим, что в черных дырах вращающиеся поля оказываются весьма существенными.
Прежде всего мы можем оценить, какой величины должны быть те исправления, которые вносит теория тяготения в классические законы движения планет.
Ньютон не знал, что скорость не может быть больше скорости света. Посмотрим, когда скорость планеты достигнет скорости света, если считать по формуле механики Ньютона. Третий закон Кеплера в механике Ньютона можно записать так:
ω2R3 = γMc
где ω — частота обращения планеты (2π/ω — период); R — среднее расстояние планеты от Солнца; γ — постоянная тяготения и Mc — масса Солнца. Заменяя для круговой орбиты ω на υ/R, где υ — линейная скорость, получаем:
υ2R = γMc
Скорость планеты достигает величины скорости света на расстоянии от Солнца R ≈ γMc/с2. Это и есть оценка расстояния от Солнца, на котором эффекты общей теории относительности будут очень велики. На самом деле мы просто сосчитали радиус, при котором первая космическая скорость (скорость на круговой орбите) будет равна (по механике Ньютона) скорости света. Можно приравнять ее второй космической скорости — так делал еще в 1796 г. Лаплас — и получить Rc = 2γMc : c2. Эта величина играет важную роль в теории относительности и имеет специальное название — гравитационный радиус Солнца. Она обозначается Rгр с и равна примерно 3 км. Аналогичная величина для Земли Rгр з ≈ 7 мм.
Лаплас выводил свою формулу из равенства потенциальной энергии тела на звезде, γmM/r, и кинетической его энергии, вычисленной по обычной классической формуле mυ2/2. Если приравнять эти две величины, то их можно сократить на m. Так как Лаплас считал, что свет состоит из корпускул, то он подставил в формулу скорость света и пришел к заключению, которое он и изложил в 1798 г. во втором томе своего сочинения «Изложение системы мира»: «Светящаяся звезда с той же плотностью, что и Земля, а диаметр которой в двести пятьдесят раз превышает диаметр Солнца, не позволит ни одному из своих лучей достигнуть нас; возможно, что самые большие из светящихся тел по этой причине остаются невидимыми».
Аргументация Лапласа, конечно, неверна, но формула гравитационного радиуса остается той же и в общей теории относительности.
Лаплас сделал одно из самых удивительных предсказаний: он понял, что могут существовать «черные дыры». Проверим еще раз числа Лапласа. Из формулы для гравитационного радиуса видно, что Rrр растет пропорционально массе тела. Лаплас рассматривал звезду с плотностью, равной плотности Земли, а в этом случае массы звезд относятся как кубы их радиусов. Тогда радиус черной дыры Rд можно выразить через радиус Земли:
где Rз — радиус Земли, а Rгр з — ее гравитационный радиус.
Отсюда
что превышает радиус Солнца примерно в 250 раз.
Для Солнца расстояния порядка его гравитационного радиуса лежат вблизи его центра.
В нашей планетной системе орбита Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, пролегает на расстоянии около 60 млн. км. Величина поправки к движению Меркурия должна быть по порядку величины равна отношению гравитационного радиуса Солнца к расстоянию до Меркурия. Эта величина имеет порядок √5∙10-6.
Поправки к движению Меркурия будут двух типов — за счет изменения массы планеты со скоростью и за счет изменения закона тяготения.
Скорость Меркурия согласно все тому же третьему закону Кеплера больше скорости Земли (30 км/с) в корень из отношения их расстояния, ~ 1,7, т. е. составляет около 50 км/с, или 1/6000 от скорости света. Поправки обычно определяются квадратом отношения υ2/c2, а значит, имеют порядок 1/36∙10-6. В законе же тяготения, кроме обычного члена 1/r2; появляется член 1/r3; что приводит к поправке того же порядка.
Последние астрономические измерения движения Меркурия дают согласие с предсказаниями теории с ошибкой не более 2%.
Некоторое время назад сравнение теории с опытом было поставлено под сомнение, когда Диккс заметил, что вывод может сильно пострадать, если Солнце хотя бы немного сплюснуто. Так, если оно сплюснуто только на 10-4 (1 + 10-4 есть отношение длин осей эллипсоида, если Солнце — эллипсоид). Это приведет к изменению теоретического числа на 7″ в 100 лет. По-видимому, более точные наблюдения исключат даже такую малую сплюснутость.
Во всяком случае сейчас картина движения Меркурия выглядит так:
Если бы не было других планет и движение происходило бы но законам Ньютона, то Меркурий описывал бы эллипс. Эффекты, связанные с теорией относительности, приводили бы к смещению перигелия на 41″ в 100 лет. На самом деле полное смещение составляет 575″ в 100 лет, происходящее из-за взаимодействия с другими планетами (на долю Венеры приходится половина эффекта). Но механика Ньютона объясняет лишь 534″ — остальное осталось на долю механики теории относительности.
Напомним, что изменения в движении Меркурия сравнительно малы из-за того, что Меркурий все время находится далеко от Солнца. На расстояниях порядка одного-трех гравитационных радиусов (3 км для Солнца) поправки к закону тяготения были бы настолько велики, что нарушилась бы компенсация центробежной силы силой притяжения к Солнцу и планета упала бы па Солнце.
Для Солнца, размер которого во много раз больше его гравитационного радиуса, такой области просто не существует. Однако для черных дыр все это выглядит весьма серьезно. Но об этом дальше.