Факультет

Студентам

Посетителям

Геометрия и механика

Рассуждения об ускорении должны были заставить нас задуматься о возможных осложнениях, связанных со введением электромагнитного поля.

Поэтому мы временно будем говорить только о движении частиц и распространении лучей света, оставив в стороне волновые процессы. Это значит, что мы ограничимся изучением траекторий частиц и лучей света и посмотрим, что с ними происходит, когда они попадают в поле тяжести.

Мы знаем, что законы движения планет в поле тяжести не зависят от их массы, что планеты с разными массами движутся одинаково. Это знал еще Кеплер, ибо в его законах массы планет не участвуют. Масса Солнца входит в постоянную третьего закона Кеплера. Массы планет войдут, если учитывать возмущение, которое оказывает каждая планета на движение всех остальных. Это значит, что в точной задаче учитываются все возможные отношения масс, а потому массы планет оказываются существенными при более строгом решении.

Таким образом, теория должна была быть построена так, чтобы в ней автоматически выполнялся принцип эквивалентности. Как это сделать, понял Эйнштейн. Надо отнести всей свойства движения в поле Солнца к свойствам пространства в окрестностях Солнца, решительно отвергнув ньютоновскую концепцию пустого евклидовского пространства, в котором, как на сцене, разыгрываются события, называемые физическими явлениями.

Понятие все это совсем не трудно. Для этого надо обратить внимание на очень близкую связь кинематики и геометрии. Когда утверждается, что материальная точка, движущаяся по инерции, описывает прямую линию, то в курсах механики не спрашивается, что такое прямая линия, — считается что прямая линия знакома всем. Но как провести прямую линию? По линейке? Такое решение не годится — надо проверить, прямая ли линейка. Можно предложить три способа — проследить, как движется точка по инерции, посмотреть, как распространяется свет, или просто натянуть нитку. Всякие другие способы окажутся усложнением трех перечисленных.

Первый способ явно ни к чему не приводит, так как мы не знаем, что такое движение по инерции (как проверить, что на тело не действуют силы?). Второй способ не лучше — мы не знаем, как распространяется свет, то, что он движется по прямой, было фактически постулировано. Если бы мы заранее знали, что в пространстве нет поля тяжести, то оба способа годились бы, но дело как раз в том, чтобы проверить, есть такие поля или нет. Третий способ, очевидно, зависит от поля тяжести — нитка прогибается из-за своего веса и не может служить эталоном.

Вывод напрашивается сам собой: мы не можем независимо определить геометрию пространства а затем движение тела по инерции. Пока математики знали лишь геометрию Евклида, все было просто. Все были уверены, что никакой другой логически непротиворечивой геометрии не существует, а потому и нет никаких сомнений в формулировке законов Ньютона. Но после открытий Лобачевского, Бойаи, Гаусса, Римана, когда понятия и язык неевклидовых геометрий перестали казаться экстравагантными, стало не очевидно, что геометрия Евклида должна быть справедлива в нашем пространстве.

Оказалось, например, что векторы скорости в специальной теории относительности складываются не как обычные векторы в евклидовом пространстве, а по законам геометрии Лобачевского.

Риман создал новую теорию, позволяющую рассматривать такое пространство, в котором законы геометрии могут быть разными в разных его точках. Как Лобачевский, так и Риман понимали, что только из опыта можно узнать о геометрии нашего мира.

Эйнштейн, кроме того, понял, что согласно специальной теории относительности, геометрию мира надо устанавливать не в трехмерном пространстве, а в четырехмерном пространстве-времени. Это значит, что в принципе геометрия трехмерного мира может быть разной для частиц, движущихся с разными скоростями только такая геометрия будет способна описать все многообразие возможных движений. Это утверждение есть простое следствие законов Кеплера, согласно которым на каждой орбите скорость планеты своя, определяемая третьим законом.

Таким образом, описание движения с помощью законов механики должно было превратиться в описание геометрии пространства.

Такое описание хорошо иллюстрируется геометрией обычной двумерной сферы, которую можно описывать двумя способами. Первый из них основан на свойствах шара в трехмерном евклидовом пространстве. Но можно действовать иначе, задавшись целью описывать все свойства сферы, не выходя в трехмерное пространство, а пользуясь только такими величинами, которые можно измерить на самой сфере. Оказывается, и это было доказано для любой поверхности Риманом, можно установить всю геометрию именно таким образом. Для сферы задача особенно проста; надо измерить только радиус сферы. Простой способ — совершить кругосветное путешествие. Тогда мы можем узнать радиус сферы, если нам кто-то сообщил, что мы живем на идеальной сфере. Но можно обойтись и без такого сообщения. Если мы аккуратно измерим углы треугольника, стороны которого составлены из дуг больших кругов, и определим, насколько эта сумма превышает 180° (найдем, как говорят, сферический избыток δ), а потом измерим еще и площадь треугольника S, то отношение S/δ даст нам квадрат радиуса сферы. Мы можем теперь проверить идеальность сферы, измеряя это отношение в разных ее местах и для треугольников разных размеров. Так, например, если взять треугольник с вершинами на полюсе и в двух точках на экваторе на расстоянии 90° друг от друга, то у такого треугольника все углы прямые. Сферический избыток будет равен 270—180 = 90° = π/2, что дает для площади πR2/2, т. е. как раз 1/8 площади всей сферы (4πR2).

Из этого примера видно, что свойства поверхности можно описывать и изучать, не сходя с самой поверхности, методами; как говорят, внутренней геометрии. Такое описание, очевидно не связано ни с какой внешней системой координат как это было бы при описании сферы в трехмерном пространстве, когда уравнение сферы по необходимости надо было связывать с какими-то телами и вообще вводить на одно измерение больше, чем это нужно с физической точки зрения.

Подобно внутренней геометрии сферы, можно говорить и о геометрии четырехмерного пространства-времени. Можно описать все его геометрические свойства, не связывая описание ни с какой системой координат. Обычно говорят, что такое описание не должно изменяться, если мы заменим четыре координаты x, y, z и t любыми другими.

Если уравнения действительно не изменяются при переходе от одной системы координат x, y, z, t к другой x’ = φ1 (x, y, z, t), y’ = φ2 (x, y, z, t), z’ — φ3 (x, y, z, t), t = φ4 (x, y, z, t), где φi — четыре почти произвольные функции, то такие уравнения называют ковариантными. Принцип общей ковариантности оказался очень важным, поскольку он дал возможность установить уравнения тяготения.

Таким образом, принцип эквивалентности и принцип специальной теории относительности объединились в общий принцип ковариантности.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.



Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: