Факультет

Студентам

Посетителям

Неевклидова геометрия

Когда в 1863 г. казанский математик Лобачевский опубликовал свою «Воображаемую геометрию», многие его коллеги глумились над великим открытием.

Так же не понят был и его венгерский современник Бойаи, независимо пришедший к возможности построения геометрии, отличной от геометрии Евклида.

Роль открытия Лобачевского многогранна. Помимо значения геометрии Лобачевского самой по себе, она заставила пересмотреть взгляд на математику.

Мы сейчас хорошо понимаем, что любая система аксиом может быть реализована не на одной модели, а на нескольких, весьма разных по своему физическому содержанию. И мы знаем, что вопрос о том, каким системам аксиом удовлетворяют соотношения между точками, прямыми, фигурами и т. д. нашего реального мира, не может быть решен путем размышлений, а должен быть исследован с помощью опытов.

Лобачевский и Гаусс думали о сумме углов треугольника, а последний даже пытался измерить эту сумму, но не достиг успеха. Сейчас мы знаем, почему он потерпел неудачу. Из-за гравитационного поля Земли сумма углов треугольника (плоского, а не нарисованного на сферической поверхности Земли) отличается от 2π на величину ~ 10-9 (l/R)2. Здесь l — длина стороны треугольника, R — радиус Земли. Если l составляет около 10 км, эта сумма углов будет больше 2π на величину порядка 10-15 радиана. Ясно, что заметить такое отличие практически невозможно даже сейчас.

Геометры прошлого века все же думали о реализации законов геометрии Лобачевского в обычном пространстве.

Только после открытия теории относительности Минковский обнаружил, что неевклидова геометрия нужна для описания четырехмерного мира, который объединяет пространство и время. Но геометрия Лобачевского оказалась реализованной и в трехмерном пространстве, Зоммерфельд в 1909 г. показал, что в теории относительности вектора скорости складываются так, как складываются вектора в геометрии Лобачевского. Это значит, что если строить пространство не из векторов перемещений, а из векторов скоростей и если в пространстве скоростей строить из этих векторов треугольники, проводить параллельные прямые и т. д., то решать задачи о свойствах этих треугольников надо не с помощью формул обычной тригонометрии, а с помощью формул тригонометрии Лобачевского. По-видимому, это был первый пример практического использования формул «воображаемой геометрии». В наше время с помощью таких формул рассчитывают соударения быстрых элементарных частиц.

Но нас сейчас интересует не пространство скоростей, все-таки в некотором смысле воображаемое, а обычное пространство, в котором мы живем и работаем.

В 1854 г. в Геттингенском университете Риман читал свою первую пробную (она называлась тогда диссертационной) лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Этот доклад не был отмечен математиками — лишь через 14 лет его текст был опубликован Дедекиндом. А между тем в нем было сказано: …«предложения геометрии не выводятся из общих свойств протяженных величин…, напротив, те свойства, которые выделяют пространство из других мыслимых трижды протяженных величин, могут быть почерпнуты не иначе как из опыта». Во времена Римана не было никого, кто бы оценил эту смелую мысль. Но хотя и не сразу, идея о существовании пространств с неевклидовой геометрией, все то, что сейчас называется римановой геометрией, превратилась к началу XX в. в плодотворную область математики.

Может быть, следует удивиться тому, что больше чем за полстолетия никто не смог сделать фактически ни одного шага на пути к выяснению геометрии реального мира. Почему так случилось? Сейчас, конечно, мы хорошо видим, в чем было дело.

Задача о природе тяготения развивалась совсем в другом направлении: физики истощали себя в попытках всунуть тяготение в одну из моделей эфира.

Принцип эквивалентности казался настолько тривиальным, что никто не видел ни малейшей возможности извлечь из него какую-нибудь пользу.

Математики в конце прошлого века уже знали о разных геометриях, но никто не понимал, как можно определить геометрию мира, если отклонения ее от геометрии Евклида столь малы, что их нельзя обнаружить на опыте. Не существовало никаких уравнений, которые позволили бы что-либо сказать о реальном мире. Наконец, самое главное, не было еще понята та связь между пространством и временем, которая была установлена в специальной теории относительности.

Но вот в 1905 г. специальная теория относительности появилась на свет. Через два года Эйнштейн начинает свой анализ тяготения с задач об изменении хода часов в гравитационном поле и об искривлении луча света. Однако лишь через 8 лет Эйнштейну удается найти уравнения для гравитационного поля.

Задолго до Эйнштейна Пуанкаре пытался объединить гравитацию и принцип относительности, но он ограничился обсуждением вопроса о скорости распространения гравитационного взаимодействия.

Был, правда, один физик, который ближе других подошел к правильному уравнению. Это был Нордстрем. Он считал, что гравитационное поле описывается скаляром и, исходя из этого предположения, построил последовательную теорию. Но Нордстрем не понял важности принципа эквивалентности, и его теория этому принципу не удовлетворяла. Не следует думать, что такое пренебрежение принципом эквивалентности сразу же приводило к конфликту с опытом. Силы тяготения настолько малы, что опытов в то время нельзя было поставить, и принцип эквивалентности никого, кроме Эйнштейна, не беспокоил. Но Эйнштейн был настолько уверен во всеобщем значении этого принципа, что сразу же отверг теорию Нордстрема, несмотря на ее математическую простоту и правдоподобность.

В том сложном положении, в котором оказалась теория тяготения в начале века, необходимо было найти какие-то общие принципы, которые, минуя эксперименты, позволили бы догадаться, как же должны выглядеть уравнения гравитации. Таким принципом оказался принцип общей ковариантности. Теорию тяготения называют общей теорией относительности; сейчас может показаться, что это название устарело, что свойства симметрии уравнения не имеют принципиального значения и т. д. Однако только расширение рамок специальной теории относительности позволило Эйнштейну сделать почти невозможное — написать уравнение, которое не следовало ни из других уравнений, ни из результатов опыта. Оно возникло из рассуждений о том, что произойдет с уравнениями специальной теории относительности, если перейти из инерциальной системы координат в систему ускоренную. Если бы не был сформулирован принцип ковариантности, то решение задач о тяготении было бы отложено лет на 50, а проблемы поведения Вселенной, задачи космологии, быть может, и поныне оставались бы за пределами доступности для физики.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.



Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: